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Martin Claußen
Computer-Simulationen

 
Konzept und Anwendungsmöglichkeiten eines numerischen Bumerangmodells
 
Gerhard Bertling berichtete in der Bumerangwelt II/90 über mein Computerprogramm und stellte fest, daß meine Flugbahnberechnungen schon recht genau seien. Kurze Zeit später schrieb mir Gerhard, daß mein Programm die Bumerangsimulationen von Felix Hess tatsächlich exakt wiedergibt -ich hatte schusseligerweise nur meine Ergebnisse mit den falschen Abbildungen verglichen. Mittlerweile habe ich das Programm noch ein wenig ausgebaut und möchte daher kurz das Konzept des Bumerangmodells und einige Anwendungsmöglichkeiten vorstellen.
 
Das numerische Bumerangmodell besteht im wesentlichen aus 3 Teilen: der eine beschreibt die Bewegung des Bumerangschwerpunktes, der zweite die Kräfte und Drehmomente, die auf den Bumerang wirken, und der dritte das bodennahe Windfeld. Die ersten beiden Teile stammen aus der Arbeit von Felix Hess - zumindest die Gleichungen, die ich auf eine etwas einfachere Art als Felix Hess gelöst habe.
 
Die grundlegende Idee von Felix Hess besteht darin, die schnelle Rotation des Bumerangs und die dadurch erzeugten Kräfte und Drehmomente einerseits sowie die im Vergleich dazu relativ langsame Bewegung des Bumerangschwerpunktes andererseits getrennt zu beschreiben. Die Bewegung des Bumerangschwerpunktes entspricht genau der eines schnellrotierenden Kreiselschwerpunktes. Diese Bewegung wird durch 9 gekoppelte, gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichungen 1.Ordnung beschrieben, die ich mit einem 3.Ordung genauen Runge-Kutta Verfahren numerisch löse. Die Kräfte und Drehmomente, die auf den Bumerang wirken, berechnet Felix Hess mit einem Modell oder erhält sie aus Messungen an Bumerangs, die im Windkanal durchgeführt wurden. In meinem Programm habe ich nur die Windkanalmessungen berücksichtigt; die Kräfte und Drehmomente werden daher in meinem Programm als Funktion der Fluggeschwindigkeit und des Anstellwinkels aus einer Tabelle von Meßwerten vorgegeben. Die Interpolation zwischen den Tabellenwerten erfolgt bilinear.
 
Den dritten Teil, das Windfeldmodell, habe ich mir ausgedacht - ich beschäftige mich hauptberuflich mit den bodennahen Windverhältnissen. Es würde zu weit führen, hier die Theorie der bodennahen Luftströmung zu entwickeln, daher beschränke ich mich auf einige, wesentliche Punkte. Die bodennahe Luftströmung ist im allgemeinen turbulent, das heißt, die momentane Windgeschwindigkeit ist zufällig und prinzipiell nicht vorhersagbar. Lediglich die Statistik des Windes wie Mittelwert, Varianz... läßt sich aus Experimenten oder Theorie gewinnen. Die Windfluktuation, d.h. die Böigkeit wird im Bumerangprogramm also erwürfelt, und zwar wird ein 'Grundrauschen' erwürfelt, dem zufällige Einzelböen überlagert sind, so daß die Varianz des Modellwindes der natürlichen so nahe wie möglich kommt. Die Höhe der Windvarianz sowie die Stärke und die Frequenz der Einzelböen hängt von der Temperaturschichtung der bodennahen Luft ab. Bei schönem Wetter tagsüber, wenn die Luft am Boden wesentlich wärmer ist als in größeren Höhen (zum Beispiel in 2 Metern Höhe), dann sind die Einzelböen stärker und treten seltener auf, als bei bedecktem Himmel mit geringen Temperaturunterschieden oder gar abends oder nachts, wenn die Lufttemperatur mit der Höhe zunimmt. Die Windfluktuation ist einem mittleren Wind überlagert. Auch die Änderung des mittleren Windes mit der Höhe hängt von der Temperaturschichtung ab. (Als mittlerer Wind wird im allgemeinen der Wind im Mittel über 10 Minuten angesehen.) Bei schönem Wetter nimmt der mittlere Wind tagsüber in Bodennähe kräftig zu und wird rasch nahezu höhenkonstant. Bei geringen Temperaturunterschieden nimmt der Wind gleichmäßiger mit der Höhe zu.


Nun zu den Anwendungsmöglichkeiten. Um gleich bei der Meteorologie zu bleiben: Mit dem Computer läßt sich die Windempfindlichkeit eines Bumerangs austesten. Dazu gibt die Abbildung 1 ein Beispiel, in der verschiedene Flugbahnen eines Bumerangs in der Aufsicht (oberer Teil der Abbildungen) und einer Seitenansicht (unterer Teil) gezeigt sind. Die Startwerte für den Bumerang sind stets die gleichen: Umdrehungsgeschwindigkeit u=10 Hz, Abwurfgeschwindigkeit v0=25m/s, Kippwinkel k=0°, Höhenwinkel h=20°, Abwurfhöhe = 2m, Wind in 2m Höhe U2=2m/s, Lufttemperatur in 2m Höhe und Temperatur am Boden T2=20°C. Wegen der Reproduzierbarkeit der Ergebnisse wurde die Böigkeit des Windes nicht berücksichtigt. Der Winkel zwischen Wurfrichtung und Windrichtung variiert von 0° (Wurf gegen den Wind) über 45 ° auf 90° (Wind kommt von links). Um einen möglichst genauen Wurf zu erzielen, wäre ein Winkel von etwa 80° zu wählen.
 
Wie wirken sich die unterschiedliche Temperaturschichtung und damit die unterschiedliche Böigkeit auf den Bumerangflug aus? Wieder wird der Bumerang mit u=10Hz , v0=25m/s, Kippwinkel k=0°, Höhenwinkel h=20° gestartet, Wind weht mit 2m/s aus 90°, die Lufttemperatur beträgt 20°C. Die ausgezogene Linie (Abbildung 2) zeigt die Flugbahn unter neutralen Verhältnissen, d.h. Luft- und Bodentemperatur sind gleich groß. Nimmt die Temperatur mit der Höhe zu (die Temperatur in Bodennähe ist 2,5°C niedriger als in 2m Höhe), so ist die Windzunahme mit der Höhe stärker als bei neutraler Temperaturschichtung und der Bumerang neigt offenbar dazu auszureißen (lang-gestrichelte Kurve). Bei klarem Wetter - als Temperatur in Bodennähe wurde 35°C angenommen - nimmt die Böigkeit kräftig zu. Dies ist an der 'geknickten' Flugbahn (kurz-gestrichelte Kurve) zu erkennen. Gegen die Böigkeit des Windes ist man machtlos, hier wird der Bumerangflug zum 'Glücksspiel' und es können Wetten abgeschlossen werden, wie genau der Bumerang landet - fast wie im richtigen Leben - nur im Computer kann die Böigkeit abgeschaltet werden.
 
Eine weitere Möglichkeit des Computerprogramms besteht darin, das optimale Flugverhalten als Funktion der Startbedingungen zu berechnen. Als Beispiel habe ich die Startwerte ausgerechnet, die zu einer möglichst langen Flugdauer führen. Diese Startwerte sind in der Abbildung 3 eingezeichnet (die Rotation des Bumerangs wurde stets mit u=10Hz vorgegeben). Die Zahlenwerte an der Projektion der Kurve auf der v0/h-Ebenen geben die optimale Flugzeit an. Für diesen Bumerang gilt offenbar, daß mit zunehmender Abwurfgeschwindigkeit v0 der Höhenwinkel h nahezu unverändert bei 25° belassen, jedoch der Kippwinkel k von 20° auf 0° zurückgenommen werden sollte, um den Bumerang möglichst lange in der Luft zu halten. Der Vergleichbarkeit der Ergebnisse wegen wurde bei diesen Rechnungen ebenfalls die Böigkeit des Windes abgeschaltet.
 
Die vorgestellten Beispiele zeigen, daß das numerische Bumerangmodell helfen kann, die Flugeigenschaften eines bestimmten Bumerangs näher kennenzulernen oder das Werfen des Bumerangs bei Wind 'trocken' zu üben. Weitere Anwendungsbeispiele sind sicher denkbar. Als nächsten Schritt habe ich mir vorgenommen, die Kräfte und Drehmomente nicht als Meßwerte vorzugeben, sondern als Funktion bestimmter Formparameter zu berechnen. Dies könnte dann als Leitfaden zur Konstruktion 'optimaler' Bumerangs dienen.
 
Martin Claußen
Faberstr. 14
2000 Hamburg

 
   
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